Расстояние между скрещивающимися прямыми

Дана пирамида ABCD, в которой AD=AC=BC=BD=$\sqrt{17}$, AB=CD=$2\sqrt{5}$.

а) Докажите, что ребро AB перпендикулярно ребру CD.

б) Найдите расстояние между ребрами CD и AB.

Источник: ЕГЭ 2019, досрочная волна

В тетраэдре $ABCD$ ребро $AD = 4$, а все остальные рёбра равны $7$.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $AD$ и $BC$.

Источник: Пробный вариант ЕГЭ-2021

В правильной четырёхугольной пирамиды $PABCD$ сторона основания $ABCD = 12$, а боковое ребро $PA = 12\sqrt{2}$. Через вершину $A$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная прямой $PC$ и пересекающая ребро $PC$ в точке $K$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит высоту $PH$ пирамиды $PABCD$ в отношении $2:1$, считая от вершины $P$.

б) Найдите расстояние между прямыми $PH$ и $BK$.

Источник: Пробный вариант ЕГЭ-2018

В основании пирамиды $PABCD$ лежит трапеция $ABCD$, в которой $\angle BAD=60^\circ$, $\angle CDA=30^\circ$. Боковые грани $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны основанию пирамиды.

a) Доказать, что плоскости $(PAB)$ и $(PCD)$ перпендикулярны.

б) Найти расстояние между прямыми $PB$ и $CD$, если известно, что $BC=6$, а высота пирамиды $PABCD$ равна $4$.

Источник: БАНКЕГЭ

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с вершиной $S$ боковое ребро $SD=5$, а высота пирамиды равна $\sqrt{15}$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $CD$ и $AB$ соответственно. В пирамиде $NSCD$ точка $N$ является вершиной, а $NT$ — высотой пирамиды.

а) Доказать, что точка $T$ является серединой $SM$.

б) Найти расстояние между прямыми $NT$ и $SC$.

Источник: БАНК ЕГЭ

В основании правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник $ABC$. На прямой $AA_1$ отмечена точка $G$ так, что $A_1$ — середина $AG$. На прямой $B_1C_1$ отмечена точка $I$ так, что $C_1$ — середина $B_1I$.

а) Докажите, что прямые $A_1B_1$ и $GI$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $GI$, если $AB = 4$, а $AA_1 = 1$.

Источник: БАНКЕГЭ

В основании правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник $ABC$. На прямой $AA_1$ выбрана точка $G$ так, что $A_1$ является серединой отрезка $AG$. На прямой $B_1C_1$ отмечена точка $F$ таким образом, что $C_1$ — середина $B_1F$.

а) Доказать, что прямые $A_1B_1$ и $GF$ взаимно перпендикулярны.

б) Найти расстояние между прямыми $AB$ и $GF$, если $AB = 3$ и $AA_1 = 1$.

Источник:БАНКЕГЭ

В правильной треугольной пирамиде $A B D C$ сторона основания $C B = 5$, а боковое ребро $A B = 3$. На рёбрах $C B$ и $A D$ отмечены точки $W$ и $M$ соответственно, причём $$B W : W C = B M : M D = 1 : 4.$$ Плоскость $\alpha$ содержит прямую $W M$ и параллельна $A B$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $B D$ в отношении $1 : 4$, считая от вершины $B$.

б) Найдите расстояние между прямыми $A B$ и $W M$.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ относится к боковому ребру как $1 : \sqrt{2}$. Через вершину $D$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная боковому ребру $SB$ и пересекающая его в точке $M$.

а) Докажите, что $M$ — середина $SB$.

б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $DM$, если высота пирамиды равна $6\sqrt{3}$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 27

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $D$ и $E$ делят соответственно рёбра $AC$ и $SB$ так, что $AD : DC = 1 : 2$, $SE : EB = 1 : 2$. На продолжении ребра $SC$ за точку $S$ отмечена точка $O$. Прямые $OD$ и $OE$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $P$ и $F$ соответственно, причём $BF = FC$.

а) Докажите, что отрезки $DE$ и $PF$ пересекаются.

б) Найдите отношение $AP : PS$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 1

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $D$ и $E$ делят соответственно рёбра $AC$ и $SB$ так, что $AD : DC = SE : EB = 1 : 3$. На продолжении ребра $SC$ за точку $S$ отмечена точка $O$. Прямые $OD$ и $OE$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $P$ и $F$ соответственно, причём $CF = 2FB$.

а) Докажите, что отрезки $DE$ и $PF$ пересекаются.

б)Найдите отношение $AP : AS$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 2