Последовательности и прогрессии

Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.

а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?

б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?

в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.

Источник: ЕГЭ 2019, досрочная волна

Последовательность натуральных чисел ($a_n$) состоит из 400 членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на 98 меньше предыдущего.

а) Может ли последовательность ($a_n$) содержать ровно 5 различных чисел?

б) Чему может равняться $a_1$, если $a_{100}=75$?

в) Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности ($a_n$)?

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию ($n\ge3$).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в) Найдите все возможные значения $n$, если сумма всех данных чисел равна 129.

Источник: ЕГЭ 2013, досрочная волна

Целое число $S$ является суммой не менее пяти последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.

а) Может ли $S$ равняться 9?

б) Может ли $S$ равняться 2?

в) Найдите все значения, которые может принимать $S$

Источник: ЕГЭ 2014, досрочная волна

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел равен 128. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.

а) Может ли число 686 являться членом такой прогрессии?

б) Может ли число 496 являться членом такой прогрессии?

в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Источник: ЕГЭ 2021, основная волна

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?

б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9 . Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.

в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Источник: ЕГЭ 2014, основная волна

Целое число $S$ является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.

а) Может ли $S$ равняться 8?

б) Может ли $S$ равняться 1?

в) Найдите все значения, которые может принимать $S$.

Источник: ЕГЭ 2014, основная волна

Для набора из 60 различных целых чисел выполнено, что сумма любых двух чисел из этого набора больше суммы любых шести чисел из этого набора.

a) Может ли одним из этих чисел быть число –400?

б) Может ли одним из этих чисел быть число 400?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

Источник: Сборник Ященко 2026 Вариант 3.

Для набора 50 различных целых чисел выполнено, что сумма любых трёх чисел из этого набора больше суммы любых пяти чисел из этого набора.

1. а) Может ли одним из этих чисел быть число $-300$?
2. б) б)Может ли одним из этих чисел быть число $300$?
3. в) в)Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 4

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 9177.

а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

б) Может ли последовательность состоять из пяти членов?

в)Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 33

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в $8$ раз больше, либо в $8$ раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна $4040$.

а)Может ли последовательность состоять из трёх членов?

б)Может ли последовательность состоять из четырёх членов?

в)Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 34

Дано натуральное число. Можно либо вычесть из него утроенную сумму его цифр, либо прибавить к нему утроенную сумму его цифр. При этом полученное число должно быть натуральным.

a) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 29?

б) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 31?

в) Какое наименьшее натуральное число можно получить из 128 с помощью таких операций?

Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $(n \geq 3)$.

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной $13$?

б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше $500$?

в) Найдите все возможные значение $n$, если сумма всех данных чисел равна $57$.