Задачи с прикладным содержанием

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 80 мг. Период его полураспада составляет 2 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Источник: БАНК ФИПИ

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{3}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 176 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 11 мг.

Источник: БАНК ФИПИ

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{\tau}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ — время, прошедшее от начального момента, в минутах, $T$ — период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 156 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 39 мг.

Источник: БАНК ФИПИ

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа составляла 64 мг. Период его полураспада составляет 1 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 1 мг.

Источник: БАНК ФИПИ

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $m_0 = 50 \, \text{мг}$. Период его полураспада $T = 5 \, \text{мин}$. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг?

Источник: БАНК ФИПИ

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k = 10^5 \, \text{Па} \cdot \text{м}^5$, где $p$ — давление газа в паскалях, $V$ — объём газа в кубических метрах, $k = \frac{5}{3}$. Найдите, какой объём $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$, равном $3{,}2 \cdot 10^6 \, \text{Па}$.

Источник: БАНК ФИПИ.

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^a = const$, где $p$ (Па) — давление газа, $V$ — объём газа в кубических метрах, $a$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $a$ уменьшение в два раза объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?

Источник: БАНК ФИПИ

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $pV^{1{,}4} = const$, где $p$ (атм.) — давление газа, $V$ — объём газа в литрах. Изначально объём газа равен 1,6 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объёма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

Источник: ЕГЭ  2015. Основная волна.

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_n = 25^\circ \text{C}$, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубку воды $m = 0{,}3 \, \text{кг/с}$. Проходя по трубе расстояние $x$, вода охлаждается от начальной температуры $T_s = 57^\circ \text{C}$ до температуры $T$, причем $$x = \alpha \frac{cm}{\gamma} \log_2 \frac{T_s - T_n}{T - T_n},$$ где $c = 4200 \, \text{Дж/(кг\(\cdot\)°C)}$ — теплоемкость воды, $\gamma = 63 \, \text{Вт/(м\(\cdot\)°C)}$ — коэффициент теплообмена, $\alpha = 1{,}4$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 56 м.

Источник: БАНК ФИПИ

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моля воздуха при давлении $p_1 = 1,6$ атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = a\nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1}$, где $a = 6,2 \, \text{Дж/(моль\(\cdot\)К)}$ — постоянная, $T = 300 \, \text{K}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 11160 Дж.

Источник: БАНК ФИПИ

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 6$ молей воздуха при давлении $p_1 = 2,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ (в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A = \alpha \nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1}$, где $\alpha = 5,75$ — постоянная, $T = 300 \, \text{K}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10350 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Источник: ЕГЭ 2023. Досрочная волна.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 5$ моль воздуха при давлении $p_1 = 2,3$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = a\nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1}$, где $a = 15,6 \, \text{Дж/(моль\(\cdot\)К)}$ — постоянная, $T = 300 \, \text{K}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 23400 Дж.

Источник: ЕГЭ 2023. Досрочная волна.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $\nu = 3$ моль воздуха объёмом $V_1 = 8 \, \text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = \alpha \nu T \log_2 \frac{V_1}{V_2}$ (Дж), где $\alpha = 5,75 \, \text{Дж/(моль\(\cdot\)К)}$, $T = 300 \, \text{К}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10350 Дж.

Источник: ЕГЭ 2023. Досрочная волна.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моля воздуха при давлении $p_1 = 1{,}75$ атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $$A = \alpha \nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1},$$ где $\alpha = 13{,}3$ — постоянная, $T = 300 \, \text{K}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 15960 Дж.

Источник: ЕГЭ 2015. Досрочная волна.

Емкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $C = 6 \cdot 10^{-6} \, \text{Ф}$. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением $R = 8 \cdot 10^6 \, \text{Ом}$. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 34 \, \text{кВ}$. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $$t = aRC \log_2 \frac{U_0}{U} \, (с),$$ где $a = 0{,}8$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $76{,}8 \, \text{с}$. Ответ дайте в киловольтах.

Источник: БАНК ФИПИ

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_n = 20^\circ \text{C}$, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды $m = 0{,}3 \, \text{кг/с}$. Проходя по трубе расстояние $x$, вода охлаждается от начальной температуры $T_b = 60^\circ \text{C}$ до температуры $T$, причем $$x = \alpha \frac{cm}{\gamma} \log_2 \frac{T_b - T_n}{T - T_n},$$ где $c = 4200 \, \text{Дж/(кг\(\cdot\)°C)}$ — теплоемкость воды, $\gamma = 21 \, \text{Вт/(м\(\cdot\)°C)}$ — коэффициент теплообмена, $\alpha = 0{,}7$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.

Источник: БАНК ФИПИ

Груз массой 0,38 кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v = v_0 \sin \frac{2\pi t}{T}$, где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 8 \, \text{с}$ — период колебаний, $v_0 = 2 \, \text{м/с}$. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E = \frac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 7 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Источник: БАНК ФИПИ

Мяч бросили под углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле $t = \frac{2U_0 \sin \alpha}{g}$. При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) время полета будет не меньше 2,1 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $U_0 = 21 \, \text{м/с}$? Считайте, что ускорение свободного падения $g = 10 \, \text{м/с}^2$.

Источник: БАНК ФИПИ

Два тела, массой $m = 6 \, \text{кг}$ каждое, движутся с одинаковой скоростью $v = 9 \, \text{м/с}$ под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 \sin^2 \alpha$, где $m$ — масса (в кг), $v$ — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом $2\alpha$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 243 Дж. Ответ дайте в градусах.

Источник: ЕГЭ по математике 2020. Досрочная волна.

Два тела, массой $m = 9 \, \text{кг}$ каждое, движутся с одинаковой скоростью $v = 6 \, \text{м/с}$ под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 \sin^2 \alpha$, где $m$ — масса (в кг), $v$ — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом $2\alpha$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 81 Дж. Ответ дайте в градусах.

Источник: ЕГЭ по математике 2020. Досрочная волна.

Мяч бросили под углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле: $$t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$$ При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) время полёта будет не меньше 3,2 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $v_0 = 16 \, \text{м/с}$? Считайте, что ускорение свободного падения $g = 10 \, \text{м/с}^2$.

Источник: БАНК ФИПИ.

Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой: $$H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos \alpha)$$ где $v_0 = 26 \, \text{м/с}$ - начальная скорость. При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 7,45 м на расстоянии 1 м? Считайте, что ускорение свободного падения $g = 10 \, \text{м/с}^2$.

Источник: БАНК ФИПИ.

Два тела массой $m = 2$ кг каждое движутся с одинаковой скоростью $v = 8 \, \text{м/с}$ под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле: $$Q = mv^2 \sin^2 \alpha$$ Найдите, под каким углом $2\alpha$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 32 Дж.

Источник: БАНК ФИПИ.

Груз массой $0{,}16$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону: $$v = v_0 \cos \frac{2\pi t}{T}$$ где $t$ - время с момента начала колебаний, $T = 2$ с - период колебаний, $v_0 = 1{,}5$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле: $$E = \frac{mv^2}{2}$$ Найдите кинетическую энергию груза через 20 секунд после начала колебаний.

Источник: БАНК ФИПИ.

При нормальном падении света с длиной волны $\lambda = 400$ нм на дифракционную решётку с периодом $d$ нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума $k$ связаны соотношением $d \sin \varphi = k\lambda$. Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решётке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Источник: БАНК ФИПИ.

Катер должен пересечь реку шириной $L = 100$ м со скоростью течения $u = 0{,}5$ м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Время в пути определяется выражением $t = \frac{L}{u} \ctg \alpha$, где $\alpha$ - острый угол между направлением движения и берегом. Под каким минимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Источник: БАНК ФИПИ.

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью $v = 3$ м/с под острым углом $\alpha$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $ u = \frac{m}{m+M} v \cos \alpha $ (м/с), где $m = 80$ кг  — масса скейтбордиста со скейтом, а $M = 400$ кг  — масса платформы. Под каким максимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/⁠с?

Источник: БАНК ФИПИ.

Скорость груза изменяется по закону $v(t) = 5 \sin \pi t$ см/с. Найти долю времени из первой секунды, когда скорость была не менее 2,5 см/с. Ответ округлить до сотых.

Источник: БАНК ФИПИ.

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку (в Нм), определяется формулой $M = NIBl^2\sin\alpha$, где $I = 2A$  — сила тока в рамке, $B = 3\cdot10^{-3}$ Тл  — значение индукции магнитного поля, $l = 0,5$ м  — размер рамки,  $N = 1000$  — число витков провода в рамке, $\alpha$ — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент $M$ был не меньше 0,75 $H\cdot$м ?

Источник: БАНК ФИПИ.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0\cdot \sin (\omega t + φ)$ где t  — время в секундах, амплитуда $U_0$ =  2 В, частота $ω  =  120°$/с, фаза $ φ  =  –30°$. Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Источник: БАНК ФИПИ.