Медианы и биссектрисы

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отметили точку $D$ так, что $AB = BD$. Биссектриса $BF$ пересекает $AD$ в точке $E$. Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK$.

а) Докажите, что $AB : BC = AE : EK$.

б) Найдите отношение площади $ABE$ к площади $CDEF$, если $BD:DC=5:2$.

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точки $M$ и $N$ — середины катетов $AC$ и $BC$ соответственно, $CH$ — высота.

а)Докажите, что прямые $МН$ и $NH$ перпендикулярны.

б) Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AC$ и $NH$, а $Q$ — точка пересечения прямых $BC$ и $MH$. Найдите площадь треугольника $PQM$, если $AH=12$ и $BH=3$.

Источник: ЕГЭ 2016, основная волна

На продолжении стороны $AC$ за вершину $A$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AD=AB$. Прямая, проходящая через точку $A$, параллельно $BD$, пересекает сторону $BC$ в точке $M$.

а) Докажите, что $AM$ — биссектриса треугольника $ABC$.

б) Найти $S_{AMBD}$, если $AC=30,\; BC=18$,;и $AB=24$.

Источник: ЕГЭ 2016, основная волна

К окружности с диаметром $AB = 10$ проведена касательная $BC$ так, что $BC = 5$. Прямая $AC$ вторично пересекает окружность в точке $D$. Точка $E$ окружности диаметрально противоположна точке $D$. Прямые $ED$ и $BC$ пересекаются в точке $F$.

а) Докажите, что $BD^2=CD\cdot BE$.

б) Найдите площадь треугольника $FBE$.

Источник: ЕГЭ 2020, резервная волна