Другие многоугольники

Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ известны стороны и диагональ: $AB = 3$, $BC = CD = 5$, $AD = 8$, $AC = 7$.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите $BD$.

Источник: ЕГЭ 2018, досрочная волна

Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$, перпендикулярна диагонали $AC$ и пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.

а) Докажите, что $BM$ и $BD$ делят угол $B$ на три равных угла.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$ до прямой $CM$, если $BC = 6\sqrt{21}$.

Дан прямоугольник $ABCD$. Известно, что $CD = 3AD$. Точка $M$ — середина его стороны $AD$. На стороне $CD$ отмечена точка $N$.
Известно, что $CN = 2ND$. Точка $K$ — середина отрезка $CM$.

a) Докажите, что точки $B$, $N$ и $K$ лежат на одной прямой.

б) Найдите $KN$, если известно, что $AD = 4\sqrt{5}$.

Дан прямоугольник $ABCD$. Известно, что $CD = 3AD$. Точка $M$ — середина его стороны $AD$. На стороне $CD$ отмечена точка $N$.
Известно, что $CN = 2ND$. Точка $K$ — середина отрезка $CM$.

a) Докажите, что точки $B$, $N$ и $K$ лежат на одной прямой.

б) Найдите $KN$, если известно, что $AD = 4$.

В ромбе $ABCD$ точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AD$ и $DC$ соответственно. Прямые $BP$ и $BQ$ пересекают диагональ $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что $S_{BMN}$ = $S_{AMP} + S_{NQC}$.

б) Известно, что в пятиугольник $DPMNQ$ можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба ABCD равна $6\sqrt5$.

В ромбе $ABCD$ точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AD$ и $DC$ соответственно. Прямые $BP$ и $BQ$ пересекают диагональ $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что $S_{BMN}$ = $S_{AMP} + S_{NQC}$.

б) Известно, что в пятиугольник $DPMNQ$ можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба ABCD равна $6\sqrt5$.

Дана трапеция с диагоналями, равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Дан ромб $ABCD$. На диагонали $AC$ отмечены точки $M$ и $N$, так что $AM = NM = NC$. Прямая $BM$ пересекает сторону $AD$ в точке $P$, а прямая $BN$ пересекает сторону $CD$ в точке $Q$.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника $BPDQ$ равна площади треугольника $ADC$.

б) Найдите $BD$, если известно, что $AC = 2\sqrt{5}$ и около пятиугольника $MNQDP$ можно описать окружность.