Дробные уравнения и неравенства

По закону Ома для полной цепи сила тока ($I$, А) равна: $I = \frac{\varepsilon}{R + r},$ где $\varepsilon$ — ЭДС источника (В), $r = 1\ \text{Ом}$ — внутреннее сопротивление, $R$ — сопротивление цепи (Ом). При каком наименьшем $R$ сила тока будет не более $20\%$ от тока короткого замыкания $I_{\text{кз}} = \varepsilon/r$?

Источник: БАНК ФИПИ

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 180 \, \text{В}$ и внутренним сопротивлением $r = 1 \, \text{Ом}$ хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в омах). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле $U = \frac{\varepsilon R}{R + r}$. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 170 В? Ответ дайте в омах.

Источник: ЕГЭ 2024. Основная волна.

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 65\ \text{В}$ и внутренним сопротивлением $r = 0.5\ \text{Ом}$ хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$. Напряжение на этой нагрузке,выражаемое в вольтах,дается формулой: $$U = \frac{\varepsilon R}{R + r}.$$ Найти наименьшее $R$ (в омах), при котором $U \geq 60\ \text{В}$.

Источник: ЕГЭ по математике 2023. Основная волна.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 20 \, \text{см}$. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 15 до 40 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана - в пределах от 100 до 120 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Источник: ЕГЭ по математике 2023. Основная волна.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 30 \, \text{см}$. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 до 40 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

$$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}.$$

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Источник: БАНК ФИПИ.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 192 \, \text{Гц}$. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону $$f(v) = \frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}} \, (\text{Гц}), \, \text{где } c - \text{скорость звука (в м/с)}.$$ Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300 \, \text{м/с}$. Ответ дайте в м/с.

Источник: БАНК ФИПИ.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 295 \, \text{Гц}$. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v) = \frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ - скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 300 \, \text{м/с}$. Ответ дайте в м/с.

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2026 по математике.

При оближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u = 8 \, \text{м/с}$ и $v = 11 \, \text{м/с}$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f = f_0 \cdot \frac{c+u}{c-v}$, где $f_0 = 160 \, \text{Гц}$ – частота исходного сигнала, $c$ – скорость распространения сигнала в среде (в м/с). При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна $170 \, \text{Гц}$? Ответ дайте в м/с.

Источник: БАНК ФИПИ.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_1 = 72 \, \text{Ом}$. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1 \, \text{Ом}$ и $R_2 \, \text{Ом}$ их общее сопротивление задаётся формулой: $$R_{\text{общ}} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \, (\text{Ом}),$$ а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 18 Ом. Ответ выразите в омах.

Источник: БАНК ФИПИ.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг $R$ новостных изданий на основе показателей информативности $In$, оперативности $Op$ и объективности $Tr$ публикаций. Каждый показатель оценивается целыми числами от 1 до 6. Аналитик, составляющий рейтинг считает, что объективность публикаций ценится вдвое, а информативность — вчетверо дороже, чем оперативность. В результате формула имеет вид:

$$R = \frac{4In + Op + 2Tr}{A}$$

Найдите, каким должно быть число $A$, чтобы издание, у которого все показатели наибольшие, получило рейтинг 20.

Источник: БАНК ФИПИ

Независимое агентство намерено ввести рейтинг $R$ новостных изданий на основе показателей информативности $I_n$, оперативности $Op$ и объективности $Tr$ публикаций. Каждый показатель оценивается целыми числами от 1 до 6. Аналитик, составляющий рейтинг, считает, что объективность публикаций ценится вдвое, а информативность — вчетверо дороже, чем оперативность. В результате формула имеет вид:

$$R = \frac{4I_n + Op + 2Tr}{A}$$

Найдите, каким должно быть число $A$, чтобы издание, у которого все показатели наибольшие, получило рейтинг 1.

Источник: ЕГЭ 2013. Основная волна.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 247 МГц.

Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле: $$v = c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0},$$ где:

• $c = 1500$ м/с – скорость звука в воде
• $f_0$ – частота испускаемых импульсов (в МГц)
• $f$ – частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц)

Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала $f$, если скорость погружения батискафа не должна превышать 18 м/с.

Источник: ЕГЭ 2013. Основная волна.

Рейтинг $R$ интернет-магазина вычисляется по формуле: $$R = r_{\text{пок}} - \frac{r_{\text{пок}} - r_{\text{эксп}}}{(K+1)^m},$$ где: $$m = \frac{0{,}02K}{r_{\text{пок}} + 0{,}1},$$

$r_{\text{пок}}$ — средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), $r_{\text{эксп}}$ — оценка магазина, данная экспертами (от 0 до 0{,}7), $K$ — число покупателей, оценивших магазин.

Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин равно $29$, средняя оценка покупателей равна $0{,}48$, а оценка экспертов равна $0{,}18$.

Источник: БАНК ФИПИ

Рейтинг $R$ интернет-магазина вычисляется по формуле: $$R = r_{\text{пок}} - \frac{r_{\text{пок}} - r_{\text{эксп}}}{(K+1)^m},$$ где: $$m = \frac{0{,}02K}{r_{\text{пок}} + 0{,}1},$$

$r_{\text{пок}}$ — средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), $r_{\text{эксп}}$ — оценка магазина, данная экспертами (от 0 до 0{,}7), $K$ — число покупателей, оценивших магазин.

Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин равно $29$, средняя оценка покупателей равна $0{,}48$, а оценка экспертов равна $0{,}18$.

Источник: Банк ФИПИ

При оближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 170 \, \text{Гц}$ и определяется следующим выражением: $$f = f_0 \cdot \frac{c+u}{c-v} \, (\text{Гц}),$$

где $c$ – скорость распространения сигнала в среде (в м/с), u = 12 , м/с и v = 6 , (м/с) скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике $f$ будет не менее 180 Гц?

Источник: Банк ФИПИ

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 558 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $v = c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0}$, где $c = 1500 \, \text{м/с}$ - скорость звука в воде, $f_0$ - частота испускаемых импульсов, $f$ - частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна $12 \, \text{м/с}$. Ответ выразите в МГц.

Источник: Банк ФИПИ

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u = 6 \, \text{м/с}$ и $v = 13 \, \text{м/с}$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f = f_0 \cdot \frac{c+u}{c-v}$, где $f_0 = 130 \, \text{Гц}$ — частота исходного сигнала, $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с). При какой скорости $c$ распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет равна $140 \, \text{Гц}?$ Ответ дайте в м/с.

Источник: Банк ФИПИ

При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала $f_0 = 120 \, \text{Гц}$ и определяется следующим выражением: $$f = f_0 \cdot \frac{c+u}{c-v},$$ где $c$ – скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 6$ и $v = 7$ – скорость приемника и источника относительной среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала приемника $f$ не менее 125 Гц?

Источник: Банк ФИПИ

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением

$$v = c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0}$$

где $c = 1500 \, \text{м}/\text{с}$ – скорость звука в воде, $f_0$ – частота испускаемого сигнала (в МГц), $f$ – частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

Источник: ЕГЭ по математике 2025. Основная волна.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 170 \, \text{Гц}$ и определяется следующим выражением: $$f = f_0 \cdot \frac{c + u}{c - v},$$ где:

• $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с)
• $u = 11 \, \text{м/с}$ — скорость приёмника относительно среды
• $v = 13 \, \text{м/с}$ — скорость источника относительно среды

Определите максимальную скорость $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде, при которой частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $180 \, \text{Гц}$.

Источник: БАНК ФИПИ

Сила тока в цепи $I$ (в А) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $$I = \frac{U}{R},$$ где:

• $U$ — напряжение в вольтах
• $R$ — сопротивление электроприбора в омах

В электросеть включён предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $2{,}5$ А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке с напряжением $220$ В, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

Источник: БАНК ФИПИ

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 30\, \text{см}$. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана - в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Источник: ЕГЭ  2017. Основная волна .2017.

К источнику с ЭДС  $= 60$ В и внутренним сопротивлением $r = 0.8$ Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой $$U = \frac{\epsilon R}{R + r}$$

При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 55 В? Ответ выразите в омах.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 170 \, \text{Гц}$ и определяется следующим выражением: $$f = f_0 \cdot \frac{c + u}{c - v},$$ где:

• $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с)
• $u = 2 \, \text{м/с}$ — скорость приёмника относительно среды
• $v = 17 \, \text{м/с}$ — скорость источника относительно среды

Определите максимальную скорость $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде, при которой частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $180 \, \text{Гц}$.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой

$$\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}\cdot 100\%,$$ где $T_1$ — температура нагревателя (в градусах Кельвина), $T_2$ — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет не меньше $15\%$, если температура холодильника $T_2=340$ K? Ответ выразите в градусах Кельвина.