Тип 25 № 21758

Решение:

1) Анализ исходного положения. Рассмотрим пару подобных треугольников $ABO$ и $ODC$ (до перемещения экрана и предмета). Из их подобия вытекает соотношение: $$\Gamma = \frac{h_1^*}{h} = \frac{f_1}{d_1} = 5,$$ следовательно, $$f_1 = 5d_1.$$

Запишем формулу тонкой линзы для начального состояния: $$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1}.$$

Подставим сюда $f_1 = 5d_1$: $$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{5d_1} = \frac{6}{5d_1},$$ откуда $$d_1 = \frac{6}{5}F,$$ а тогда $$f_1 = 5d_1 = 6F.$$

2) Анализ изменённой конфигурации. Экран подвинули к линзе вдоль главной оптической оси на 30 см. Затем предмет передвинули так, чтобы изображение снова стало резким. Обозначим перемещение экрана за $x$.

Найдём $d_2$: $$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_1 - x}$$ $$\frac{1}{d_2} = \frac{1}{F} - \frac{1}{f_1 - x} = \frac{(f_1 - x) - F}{F(f_1 - x)}$$ $$d_2 = \frac{F(f_1 - x)}{(f_1 - x - F)} = \frac{6F^2 - Fx}{5F - x}$$

Рассмотрим новое увеличение: $$\Gamma = \frac{h_2^*}{h} = \frac{f_2}{d_2} = \frac{(f_1 - x)(5F - x)}{6F^2 - Fx} = \frac{30F^2 - 11Fx + x^2}{6F^2 - Fx}$$

Подставим численные значения: $$\Gamma = \frac{30 \cdot 15^2 \text{ см}^2 - 11 \cdot 15 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} + 30^2 \text{ см}^2}{6 \cdot 15^2 \text{ см}^2 - 15 \text{ см} \cdot 30 \text{ см}} = 3$$