Задание 25 № 21593: Оптика — ЕГЭ по физике

Прямоугольный треугольник расположен перед собирающей линзой с фокусным расстоянием $F = 30$ см, как показано на рисунке. Катет треугольника, расположенный на главной оптической оси, имеет длину $AB = l = 2$ см, а его гипотенуза составляет угол $\alpha = 60^{\circ}$ с главной оптической осью линзы. Определите тангенс угла, который составляет с главной оптической осью линзы гипотенуза даваемого линзой изображения этого треугольника. Постройте изображение треугольника в линзе.

Ход лучей в тонкой линзе: предмет ABC (треугольник) расположен слева между 2F и F, построено перевернутое изображение A1B1C1 справа за 2F

Решение:

Геометрическая схема построения изображения в линзе с указанием расстояний d1, d2, f1, f2

1) Построение изображения.

Для построения изображения вершины $C$ воспользуемся двумя стандартными лучами. Первый луч направим из точки $C$ параллельно главной оптической оси: после прохождения через линзу он преломится и пройдёт через её задний фокус. Второй луч направим из точки $C$ через оптический центр линзы: он пройдёт через линзу, не меняя своего направления. Точка пересечения этих лучей $C_1$ и будет являться изображением вершины $C$ .

Чтобы найти изображение вершины $A$ , пустим из неё произвольный луч. Построим параллельный ему побочный фокус (показан пунктиром на рисунке), проходящий через оптический центр. После преломления в линзе луч пойдёт через этот побочный фокус. Пересечение преломлённого луча с главной оптической осью даст точку $A_1$ — изображение вершины $A$ . Точка $B_1$ строится аналогично точке $A_1$ , а $B$ — аналогично $C_1$ .

2) Применение формулы тонкой линзы.

Формула тонкой собирающей линзы имеет вид: $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$ где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения. Поскольку все вершины треугольника находятся между фокусом и двойным фокусом, их изображения будут действительными.

Для точки $A$ : $\frac{1}{F} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} \implies \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_2},$ где $d_2 = 2F - l = 2 \cdot 30 \text{ см} - 2 \text{ см} = 58 \text{ см}$ . Подставим значения: $\frac{1}{f_2} = \frac{1}{30 \text{ см}} - \frac{1}{58 \text{ см}} = \frac{7}{435 \text{ см}} \implies f_2 \approx 62,14 \text{ см} \quad (1)$

Для точек $B$ и $C$ : $\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} \implies \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_1},$ где $d_1 = 2F$ : $\frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2F} = \frac{1}{2F} \implies f_1 = 2F = 2 \cdot 30 \text{ см} = 60 \text{ см} \quad (2)$

3) Нахождение тангенса угла наклона гипотенузы.

Рассмотрим треугольники $\Delta BOC$ и $\Delta C_1OB_1$ . Они подобны (по двум углам), поэтому из (2) следует: $\frac{BC}{BO} = \frac{B_1C_1}{B_1O} \implies \frac{BC}{2F} = \frac{B_1C_1}{2F} \implies BC = B_1C_1.$

Длину катета $BC$ можно найти из прямоугольного треугольника $ABC$ : $BC = l \cdot \tan \alpha = 2 \text{ см} \cdot \sqrt{3} \approx 3,46 \text{ см} \quad (3)$

Искомый тангенс угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему в треугольнике изображения: $\tan \beta = \frac{B_1C_1}{A_1B_1} = \frac{BC}{f_2 - f_1} \approx \frac{3,46 \text{ см}}{62,14 \text{ см} - 60 \text{ см}} \approx 1,62$

Источник: ЕГЭ · Физика · Основная волна 2026