Тип 26 № 21466

Обоснование применимости законов:

1. Будем рассматривать задачу в инерциальной системе отсчёта (ИСО), связанной с горизонтальной поверхностью стола.
2. Все тела системы (груз $M$ и два бруска $m$) движутся поступательно, поэтому их можно описывать как материальные точки.
3. Для описания движения материальных точек в ИСО используем второй закон Ньютона.
4. Поскольку нить нерастяжима и её длина неизменна, модули ускорений всех трёх тел одинаковы: $|\vec{a}_1| = |\vec{a}_2| = |\vec{a}_3| = a$.
5. Так как блок и нить невесомы, а трение в оси блока отсутствует, силы натяжения, действующие на груз $M$ и верхний брусок $m$ (по разные стороны блока), равны по модулю: $|\vec{T}_1| = |\vec{T}_2| = T$.
6. Пружина невесома, поэтому силы упругости, приложенные к её концам, равны по модулю: $|\vec{F}_{\text{упр}2}| = |\vec{F}_{\text{упр}3}| = F_{\text{упр}}$.
7. Так как силы, действующие на тела, постоянны во времени, их движение является равноускоренным (следует из второго закона Ньютона).

Дано: $M = 0{,}8$ кг
$m = 0{,}4$ кг
$k = 80$ Н/м
$l = 0{,}1$ м
$\mu = 0{,}2$
$L = ?$

Решение: На рисунке покажем силы, действующие на тела системы. Ось $Ox$ направим горизонтально вправо (по направлению движения груза $M$), а ось $Oy$ — вертикально вниз (по направлению движения висящих грузов).

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для груза $M$ и двух брусков $m$: $$M\vec{g} + \vec{T}_1 + \vec{F}_{\text{тр}} + \vec{N} = M\vec{a}_1,$$ $$m\vec{g} + \vec{T}_2 + \vec{F}_{\text{упр}2} = m\vec{a}_2,$$ $$m\vec{g} + \vec{F}_{\text{упр}3} = m\vec{a}_3.$$

Для тела $M$: Спроецируем уравнения на вертикальную ($Oy$) и горизонтальную ($Ox$) оси, учитывая, что по вертикали ускорения нет (тело движется только по горизонтали): $$N = Mg,$$ $$T - F_{\text{тр}} = Ma.$$

Сила трения скольжения равна: $$F_{\text{тр}} = \mu N = \mu Mg \implies T - \mu Mg = Ma. \tag{1}$$

Для висящих брусков $m$: Спроецируем уравнения на ось $Oy$, учитывая, что $F_{\text{упр}} = k\Delta l$ (где $\Delta l$ — удлинение пружины): $$mg + k\Delta l - T = ma, \tag{2}$$ $$mg - k\Delta l = ma. \tag{3}$$

Получаем систему из трёх уравнений: $$\begin{cases} T - \mu Mg = Ma \\ mg + k\Delta l - T = ma \\ mg - k\Delta l = ma \end{cases}$$

Сложим все три уравнения почленно (члены $T$ и $k\Delta l$ взаимно уничтожаются) и выразим ускорение системы: $$T - \mu Mg + mg + k\Delta l - T + mg - k\Delta l = Ma + ma + ma \implies a = \frac{2mg - \mu Mg}{M + 2m}.$$

Из последнего уравнения системы (3) выразим удлинение пружины: $$\Delta l = \frac{m(g - a)}{k} = \frac{m\left(g - \frac{2mg - \mu Mg}{M + 2m}\right)}{k}.$$

Тогда общая длина пружины $L$ равна сумме её длины в недеформированном состоянии $l$ и удлинения $\Delta l$: $$L = l + \Delta l = l + \frac{m(2mg + Mg - 2mg + \mu Mg)}{k(M + 2m)} = l + \frac{mMg(1 + \mu)}{k(M + 2m)}.$$

Подставим численные значения: $$L = 0{,}1 \text{ м} + \frac{0{,}4 \text{ кг} \cdot 0{,}8 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot (1 + 0{,}2)}{80 \text{ Н/м} \cdot (0{,}8 \text{ кг} + 2 \cdot 0{,}4 \text{ кг})} = 0{,}1 + \frac{3{,}84}{128} = 0{,}13 \text{ м}.$$