Тип 25 № 21090

Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы связано с оптической силой формулой: $$F = \frac{1}{D} = \frac{1}{2\text{ дптр}} = 0{,}5\text{ м} = 50\text{ см}$$ Обозначим вершины прямоугольника через $A, B, C, D$. Дальняя сторона $AD = a = 20\text{ см}$ находится на расстоянии $d_1 = 175\text{ см}$ от плоскости линзы, а ближняя сторона $BC = a = 20\text{ см}$ — на расстоянии: $$d_2 = d_1 - b = 175\text{ см} - 25\text{ см} = 150\text{ см}$$ Поскольку расстояния $d_1$ и $d_2$ превышают фокусное расстояние линзы ($d_1 > d_2 > F$), изображение предмета получается действительным и перевёрнутым.

Построение изображения вершин:

1. Луч, выходящий из точки $A$ вдоль верхней стороны $AB$ параллельно главной оптической оси, преломляется линзой и проходит через задний фокус $F$. На этой прямой лежат действительные изображения вершин $A_1$ и $B_1$.
2. Лучи, проходящие из вершин $A$ и $B$ через оптический центр линзы $O$, не испытывают преломления. Их пересечения с лучом, прошедшим через задний фокус, однозначно задают положения точек $A_1$ и $B_1$.
3. Вследствие симметрии фигуры относительно главной оптической оси вершины $D_1$ и $C_1$ располагаются зеркально точкам $A_1$ и $B_1$. Результирующее изображение представляет собой равнобедренную трапецию $A_1B_1C_1D_1$ с основаниями $A_1D_1$ и $B_1C_1$, перпендикулярными главной оптической оси.

По формуле тонкой собирающей линзы найдём расстояния от линзы до плоскостей изображений $f_1$ (для стороны $AD$) и $f_2$ (для стороны $BC$): $$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} \implies f_1 = \frac{F d_1}{d_1 - F} = \frac{50 \cdot 175}{175 - 50} = \frac{8750}{125} = 70\text{ см}$$ $$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F} \implies f_2 = \frac{F d_2}{d_2 - F} = \frac{50 \cdot 150}{150 - 50} = \frac{7500}{100} = 75\text{ см}$$ Высота получившейся трапеции равна расстоянию между плоскостями оснований вдоль главной оптической оси: $$h = f_2 - f_1 = 75\text{ см} - 70\text{ см} = 5\text{ см}$$ Длины оснований определяются через поперечное увеличение линзы $\Gamma = \dfrac{f}{d}$: $$A_1D_1 = \Gamma_1 \cdot a = \frac{f_1}{d_1} a = \frac{70\text{ см}}{175\text{ см}} \cdot 20\text{ см} = 8\text{ см}$$ $$B_1C_1 = \Gamma_2 \cdot a = \frac{f_2}{d_2} a = \frac{75\text{ см}}{150\text{ см}} \cdot 20\text{ см} = 10\text{ см}$$ Площадь трапеции $A_1B_1C_1D_1$ вычисляется по формуле: $$S = \frac{A_1D_1 + B_1C_1}{2} \cdot h = \frac{8\text{ см} + 10\text{ см}}{2} \cdot 5\text{ см} = 9 \cdot 5 = 45\text{ см}^2$$

Ответ: $45\text{ см}^2$