Тип 25 № 21037

Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы связано с оптической силой соотношением: $$F = \frac{1}{D} = \frac{1}{2\text{ дптр}} = 0{,}5\text{ м} = 50\text{ см}$$ Обозначим вершины исходного квадрата через $A, B, C, D$. Сторона $AD$ удалена от линзы на расстояние $d_1 = 175\text{ см}$, а ближняя сторона $BC$ — на расстояние: $$d_2 = d_1 - a = 175\text{ см} - 25\text{ см} = 150\text{ см}$$ Для построения изображения квадрата проведём характерные лучи:

1. Луч, идущий вдоль отрезка $AB$ параллельно главной оптической оси. Пройдя через линзу, этот луч преломляется и проходит через задний фокус $F$. На этой прямой лежат изображения всех точек верхней стороны квадрата, включая точки $A_1$ и $B_1$.
2. Лучи, проходящие через оптический центр $O$ от вершин $A$ и $B$, идут без преломления и пересекают фокальный луч в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно.
3. В силу осевой симметрии предмета относительно главной оптической оси изображение также симметрично: точки $D_1$ и $C_1$ расположены зеркально относительно точек $A_1$ и $B_1$. В результате изображение представляет собой равнобедренную трапецию $A_1B_1C_1D_1$ с основаниями $A_1D_1$ и $B_1C_1$, перпендикулярными оптической оси.

По формуле тонкой собирающей линзы определим расстояния $f_1$ и $f_2$ от линзы до плоскостей изображений сторон $AD$ и $BC$: $$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} \implies f_1 = \frac{F \cdot d_1}{d_1 - F} = \frac{50 \cdot 175}{175 - 50} = \frac{8750}{125} = 70\text{ см}$$ $$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F} \implies f_2 = \frac{F \cdot d_2}{d_2 - F} = \frac{50 \cdot 150}{150 - 50} = \frac{7500}{100} = 75\text{ см}$$ Высота получившейся трапеции $h$ равна расстоянию между основаниями вдоль главной оптической оси: $$h = f_2 - f_1 = 75\text{ см} - 70\text{ см} = 5\text{ см}$$ Длины оснований найдём через линейное поперечное увеличение линзы $\Gamma = \dfrac{f}{d}$: $$A_1D_1 = \Gamma_1 \cdot AD = \frac{f_1}{d_1} \cdot a = \frac{70\text{ см}}{175\text{ см}} \cdot 25\text{ см} = 10\text{ см}$$ $$B_1C_1 = \Gamma_2 \cdot BC = \frac{f_2}{d_2} \cdot a = \frac{75\text{ см}}{150\text{ см}} \cdot 25\text{ см} = 12{,}5\text{ см}$$ Площадь равнобедренной трапеции $A_1B_1C_1D_1$ вычисляется по формуле: $$S = \frac{A_1D_1 + B_1C_1}{2} \cdot h = \frac{10\text{ см} + 12{,}5\text{ см}}{2} \cdot 5\text{ см} = \frac{22{,}5}{2} \cdot 5 = 11{,}25 \cdot 5 = 56{,}25\text{ см}^2$$

Ответ: $S = 56{,}25\text{ см}^2$