Санкт-Петербург, Самара.

а) Решите уравнение: $\log_{13}\left(\cos2x -9\sqrt2 \cos x -8\right) = 0$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$

Дан тетраэдр $ABCD$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ лежат на рёбрах $AC$, $AD$, $DB$ и $BC$ соответственно так, что четырёхугольник $KLMN$ является квадратом, и $ AK : KC = 3 : 7. $

a) Докажите, что $AB : CD = 3 : 7$.

б) Найдите объём пирамиды $CKLMN$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $100$.

Решите неравенство: $2^x + \frac{2^{x + 2}}{2^x -4} + \frac{4^x + 7\cdot2^x + 20}{4^x - 3\cdot2^{x + 2} + 32} \leq 1$

В июле 2023 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C$. Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L$.

а) Докажите, что $CN : CM = LB : LA$.

б) Найдите $MN$, если $LB : LA = 2 : 3$, а радиус меньшей окружности равен $\sqrt{23}$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{2x - 1}\cdot\ln(4x - a) = \sqrt{2x - 1}\cdot\ln(5x + a)$$ имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.