Санкт-Петербург

а) Решите уравнение:

$$36^{\sin 2x}=6^{2\sin x}.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[-\frac{7\pi}{2};-\frac{5\pi}{2}\right].$$

В правильном тетраэдре $ABCD$ все рёбра равны 10. На рёбрах $AB$ и $AD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что

$$AM=AK=4.$$

а) Докажите, что плоскость $CMK$ делит тетраэдр $ABCD$ на два многогранника, объёмы которых относятся как $21:4$. б) Найдите косинус угла между плоскостью $CBD$ и плоскостью $CMK$.

Решите неравенство: $\log_{\frac{1}{3}}((4 - x)(x^2 + 29)) \leq \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 10x + 24) + \log_{\frac{1}{3}}(7 - x)$

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере 8000 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $4\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на $25\%$ меньше долга на июль предыдущего года;
• к июлю 2032 года долг должен быть полностью погашен.

Сколько тыс. руб. составит сумма всех платежей после полного погашения кредита?

В равнобедренном тупоугольном треугольнике $ABC$ на продолжение боковой стороны $BC$ опущена высота $AH$. Из точки $H$ на сторону $AB$ и основание $AC$ опущены перпендикуляры $HK$ и $HM$ соответственно.

а) Докажите, что отрезки $AM$ и $MK$ равны.

б) Найдите $MK$, если

$$AB=13,\qquad AC=24.$$

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\frac{x^2 - (3a - 1)x + 2a^2 - 2}{x^2 - 3x - 4} = 0$$ имеет единственное решение.

В числе, десятичная запись которого не содержит нулей, вычеркнули все единицы.

а) Могло ли число уменьшиться в три раза?

б) Могло ли число уменьшиться в четыре раза?

в) Найдите наибольшее возможное частное исходного и полученного чисел, если исходное число было пятизначным и не состояло из одних единиц.