Санкт-Петербург

а) Решите уравнение: $\log_8(7\sqrt{3}\sin x - \cos 2x - 10) = 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \frac{3\pi}{2};\, 3\pi \right].$

Дан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, N соответственно так, что $AK:KC = 2:3$, а KLMN — квадрат.

а) Доказать, что $AB:CD=2:3$.

б) Найти объем пирамиды $CKMN$, если объем тетраэдра $ABCD$ равен 25.

Решите неравенство: $2^x + \frac{2^{x + 2}}{2^x -4} + \frac{4^x + 7\cdot2^x + 20}{4^x - 3\cdot2^{x + 2} + 32} \leq 1$

В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

−каждый январь долг увеличивается на 25%\ по сравнению с концом предыдущего года;

−с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года), и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 65 500 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C$. Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $ KC $ и $AB$ пересекаются в точке $L$.

а) Докажите, что $CN : CM = LB : LA$.

б) Найдите длину хорды $MN$, если $LB : LA = 3 : 7$, а радиус меньшей окружности равен $\sqrt{17}$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{5x - 3}\cdot\ln(3x - a) = \sqrt{5x - 3}\cdot\ln(4x + a)$$ имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.

У Пети имеется неограниченный запас монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей (по 100 штук каждого вида). Цена пирожного — целое число рублей. Петя собирается заплатить ровно столько, сколько стоит пирожное, но заранее цену не знает.

а) Можно ли выбрать дома 16 монет так, чтобы ими можно было оплатить любое пирожное стоимостью не более 100 рублей?

б) Можно ли выбрать дома 5 монет так, чтобы ими можно было оплатить любое пирожное стоимостью не более 25 рублей?

в) Какое минимальное число монет достаточно взять, чтобы гарантированно расплатиться за любое пирожное стоимостью до 100 рублей включительно?