Тригонометрические уравнения и неравенства

Груз массой 0,38 кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v = v_0 \sin \frac{2\pi t}{T}$, где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 8 \, \text{с}$ — период колебаний, $v_0 = 2 \, \text{м/с}$. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E = \frac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 7 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Источник: БАНК ФИПИ

Мяч бросили под углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле $t = \frac{2U_0 \sin \alpha}{g}$. При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) время полета будет не меньше 2,1 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $U_0 = 21 \, \text{м/с}$? Считайте, что ускорение свободного падения $g = 10 \, \text{м/с}^2$.

Источник: БАНК ФИПИ

Два тела, массой $m = 6 \, \text{кг}$ каждое, движутся с одинаковой скоростью $v = 9 \, \text{м/с}$ под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 \sin^2 \alpha$, где $m$ — масса (в кг), $v$ — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом $2\alpha$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 243 Дж. Ответ дайте в градусах.

Источник: ЕГЭ по математике 2020. Досрочная волна.

Два тела, массой $m = 9 \, \text{кг}$ каждое, движутся с одинаковой скоростью $v = 6 \, \text{м/с}$ под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 \sin^2 \alpha$, где $m$ — масса (в кг), $v$ — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом $2\alpha$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 81 Дж. Ответ дайте в градусах.

Источник: ЕГЭ по математике 2020. Досрочная волна.

Мяч бросили под углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле: $$t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$$ При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) время полёта будет не меньше 3,2 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $v_0 = 16 \, \text{м/с}$? Считайте, что ускорение свободного падения $g = 10 \, \text{м/с}^2$.

Источник: БАНК ФИПИ.

Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой: $$H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos \alpha)$$ где $v_0 = 26 \, \text{м/с}$ - начальная скорость. При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 7,45 м на расстоянии 1 м? Считайте, что ускорение свободного падения $g = 10 \, \text{м/с}^2$.

Источник: БАНК ФИПИ.

Два тела массой $m = 2$ кг каждое движутся с одинаковой скоростью $v = 8 \, \text{м/с}$ под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле: $$Q = mv^2 \sin^2 \alpha$$ Найдите, под каким углом $2\alpha$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 32 Дж.

Источник: БАНК ФИПИ.

Груз массой $0{,}16$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону: $$v = v_0 \cos \frac{2\pi t}{T}$$ где $t$ - время с момента начала колебаний, $T = 2$ с - период колебаний, $v_0 = 1{,}5$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле: $$E = \frac{mv^2}{2}$$ Найдите кинетическую энергию груза через 20 секунд после начала колебаний.

Источник: БАНК ФИПИ.

При нормальном падении света с длиной волны $\lambda = 400$ нм на дифракционную решётку с периодом $d$ нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума $k$ связаны соотношением $d \sin \varphi = k\lambda$. Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решётке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Источник: БАНК ФИПИ.

Катер должен пересечь реку шириной $L = 100$ м со скоростью течения $u = 0{,}5$ м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Время в пути определяется выражением $t = \frac{L}{u} \ctg \alpha$, где $\alpha$ - острый угол между направлением движения и берегом. Под каким минимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Источник: БАНК ФИПИ.

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью $v = 3$ м/с под острым углом $\alpha$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $ u = \frac{m}{m+M} v \cos \alpha $ (м/с), где $m = 80$ кг  — масса скейтбордиста со скейтом, а $M = 400$ кг  — масса платформы. Под каким максимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/⁠с?

Источник: БАНК ФИПИ.

Скорость груза изменяется по закону $v(t) = 5 \sin \pi t$ см/с. Найти долю времени из первой секунды, когда скорость была не менее 2,5 см/с. Ответ округлить до сотых.

Источник: БАНК ФИПИ.

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку (в Нм), определяется формулой $M = NIBl^2\sin\alpha$, где $I = 2A$  — сила тока в рамке, $B = 3\cdot10^{-3}$ Тл  — значение индукции магнитного поля, $l = 0,5$ м  — размер рамки,  $N = 1000$  — число витков провода в рамке, $\alpha$ — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент $M$ был не меньше 0,75 $H\cdot$м ?

Источник: БАНК ФИПИ.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0\cdot \sin (\omega t + φ)$ где t  — время в секундах, амплитуда $U_0$ =  2 В, частота $ω  =  120°$/с, фаза $ φ  =  –30°$. Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Источник: БАНК ФИПИ.

Груз массой $0{,}08$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону: $$v = v_0 \sin\frac{2\pi t}{T}$$ где $t$ - время с момента начала колебаний, $T = 12$ с - период колебаний, $v_0 = 0{,}5$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле: $$E = \frac{mv^2}{2}$$ Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунд после начала колебаний.

Источник: БАНК ФИПИ.

Два тела массой $m=2$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=10$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, определяется выражением

$$Q=mv^2\sin^2\alpha.$$ Под каким наименьшим углом $2\alpha$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате столкновения выделилось не менее $50$ Дж?

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U=U_0\sin(\omega t+\varphi)$, где $t$ — время в секундах, амплитуда $U_0=2$ В, частота $\omega=150\,\pi$ с, фаза $\varphi=45^\circ$. Датчик настроен так что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорится лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Груз массой 0,15 кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v=v_0\cos\frac{2\pi t}{T}$, где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=2\ \text{с}$ — период колебаний, $v_0=0,4\ \text{м/с}$. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле

$$E=\frac{mv^2}{2},$$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 12 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.