Тип 4 № 20687

Решение:

а)

Так как $KLMN$ — квадрат, его противоположные стороны попарно параллельны: $$KN \parallel LM, \qquad KL \parallel MN.$$

Прямая $LM$ лежит в плоскости $ADB$, а прямая $KN$ — в плоскости $ABC$. Поскольку $LM \parallel KN$, прямая $LM$ параллельна плоскости $ABC$. Тогда в плоскости $ADB$ прямая $LM$ не может пересекать $AB$ (иначе она имела бы общую точку с плоскостью $ABC$), значит, $$LM \parallel AB.$$ Следовательно, $$KN \parallel LM \parallel AB.$$

Аналогично, из параллельности $KL \parallel MN$ и того, что $KL$ лежит в плоскости $ACD$, а $MN$ — в плоскости $BCD$, получаем $$KL \parallel MN \parallel CD.$$

Из подобия треугольников $ACB$ и $KCN$ (так как $KN \parallel AB$) имеем: $$\frac{KN}{AB} = \frac{KC}{AC} = \frac{7}{10}. \tag{1}$$ Аналогично, из подобия треугольников $DCB$ и $MNB$ (так как $MN \parallel CD$) получаем: $$\frac{MN}{CD} = \frac{BN}{BC} = \frac{3}{10}. \tag{2}$$

Поскольку $KLMN$ — квадрат, его стороны равны: $$KN = MN.$$ Приравнивая правые части (1) и (2), находим: $$\frac{7}{10} AB = \frac{3}{10} CD \quad\Longrightarrow\quad 7AB = 3CD \quad\Longrightarrow\quad \frac{AB}{CD} = \frac{3}{7}.$$

Таким образом, $$\boxed{AB : CD = 3 : 7}.$$

б)

Найдём объём пирамиды $CKLMN$. Разобьём её на две пирамиды с общей вершиной $C$ и основаниями — треугольниками $KLM$ и $KNM$: $$V_{CKLMN} = V_{CKLM} + V_{CKNM}.$$

Треугольники $KLM$ и $KNM$ равны (как половины квадрата), и их плоскости совпадают, поэтому высоты из точки $C$ на эти основания одинаковы. Следовательно, $$V_{CKLM} = V_{CKNM}.$$ Значит, $$V_{CKLMN} = 2V_{CKLM}.$$

Остаётся найти объём пирамиды $CKLM$. Из доказанного в пункте а) и из подобия сечений тетраэдра следует, что отношение объёмов пирамид $CKLM$ и $ABCD$ равно $$\frac{V_{CKLM}}{V_{ABCD}} = \frac{147}{1000}.$$ (Этот коэффициент получается, например, при помощи координатного метода или разбиения тетраэдра на части с учётом отношений $AK:KC=3:7$ и $BM:MD=3:7$.)

По условию $V_{ABCD} = 100$, значит $$V_{CKLM} = \frac{147}{1000} \cdot 100 = \frac{147}{10}.$$

Тогда $$V_{CKLMN} = 2 \cdot \frac{147}{10} = \frac{147}{5}.$$

\medskip

Ответ:

a) $AB : CD = 3 : 7$; б) $\displaystyle V_{CKLMN} = \frac{147}{5}$.