Логарифмические уравнения и неравенства

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_n = 25^\circ \text{C}$, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубку воды $m = 0{,}3 \, \text{кг/с}$. Проходя по трубе расстояние $x$, вода охлаждается от начальной температуры $T_s = 57^\circ \text{C}$ до температуры $T$, причем $$x = \alpha \frac{cm}{\gamma} \log_2 \frac{T_s - T_n}{T - T_n},$$ где $c = 4200 \, \text{Дж/(кг\(\cdot\)°C)}$ — теплоемкость воды, $\gamma = 63 \, \text{Вт/(м\(\cdot\)°C)}$ — коэффициент теплообмена, $\alpha = 1{,}4$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 56 м.

Источник: БАНК ФИПИ

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моля воздуха при давлении $p_1 = 1,6$ атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = a\nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1}$, где $a = 6,2 \, \text{Дж/(моль\(\cdot\)К)}$ — постоянная, $T = 300 \, \text{K}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 11160 Дж.

Источник: БАНК ФИПИ

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 6$ молей воздуха при давлении $p_1 = 2,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ (в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A = \alpha \nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1}$, где $\alpha = 5,75$ — постоянная, $T = 300 \, \text{K}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10350 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Источник: ЕГЭ 2023. Досрочная волна.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 5$ моль воздуха при давлении $p_1 = 2,3$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = a\nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1}$, где $a = 15,6 \, \text{Дж/(моль\(\cdot\)К)}$ — постоянная, $T = 300 \, \text{K}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 23400 Дж.

Источник: ЕГЭ 2023. Досрочная волна.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $\nu = 3$ моль воздуха объёмом $V_1 = 8 \, \text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = \alpha \nu T \log_2 \frac{V_1}{V_2}$ (Дж), где $\alpha = 5,75 \, \text{Дж/(моль\(\cdot\)К)}$, $T = 300 \, \text{К}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10350 Дж.

Источник: ЕГЭ 2023. Досрочная волна.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моля воздуха при давлении $p_1 = 1{,}75$ атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $$A = \alpha \nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1},$$ где $\alpha = 13{,}3$ — постоянная, $T = 300 \, \text{K}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 15960 Дж.

Источник: ЕГЭ 2015. Досрочная волна.

Емкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $C = 6 \cdot 10^{-6} \, \text{Ф}$. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением $R = 8 \cdot 10^6 \, \text{Ом}$. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 34 \, \text{кВ}$. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $$t = aRC \log_2 \frac{U_0}{U} \, (с),$$ где $a = 0{,}8$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $76{,}8 \, \text{с}$. Ответ дайте в киловольтах.

Источник: БАНК ФИПИ

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_n = 20^\circ \text{C}$, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды $m = 0{,}3 \, \text{кг/с}$. Проходя по трубе расстояние $x$, вода охлаждается от начальной температуры $T_b = 60^\circ \text{C}$ до температуры $T$, причем $$x = \alpha \frac{cm}{\gamma} \log_2 \frac{T_b - T_n}{T - T_n},$$ где $c = 4200 \, \text{Дж/(кг\(\cdot\)°C)}$ — теплоемкость воды, $\gamma = 21 \, \text{Вт/(м\(\cdot\)°C)}$ — коэффициент теплообмена, $\alpha = 0{,}7$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.

Источник: БАНК ФИПИ

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=5\cdot 10^{-6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=7\cdot 10^6$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=36$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением

$$t=\alpha RC\log_2\frac{U_0}{U}\ (с),$$ где $\alpha=0{,}8$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 84 с. Ответ дайте в киловольтах.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток