Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: добавить в кучу один камень (действие А) или утроить количество камней в куче, а затем убрать из кучи один камень (действие Б). Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11 или 29 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится более 32. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 33 или больше камней. В начальный момент в куче было камней, .
Говорят, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Найдите минимальное значение , при котором одновременно выполняются два условия:
- у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
- у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Решение:
Решение. Минимальное значение : 9. После первого хода Пети в куче будет 10 или 26 камней. Если в куче станет 26 камней, Ваня увеличит количество камней в куче в 3 раза и выиграет первым ходом. В ситуации, когда в куче 10 камней, Ваня добавляет в кучу 1 камень таким образом, чтобы получилось 11 камней. В этом случае при любой игре Пети Ваня выигрывает своим следующим ходом.
Таким образом, ответ — 9.
Ответ: 9.
Решение на Python (исключим стратегию Вани, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом):
def f(x, h):
if (h == 3 or h == 5) and x >= 33:
return 1
elif h == 5 and x < 33:
return 0
elif x >= 33 and h < 5:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f(x + 1, h + 1) or f(x * 3 - 1, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x + 1, h + 1) and f(x * 3 - 1, h + 1) # стратегия проигравшего
def f1(x, h):
if h == 3 and x >= 33:
return 1
elif h == 3 and x < 33:
return 0
elif x >= 33 and h < 3:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f1(x + 1, h + 1) or f1(x * 3 - 1, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f1(x + 1, h + 1) and f1(x * 3 - 1, h + 1) # стратегия проигравшего (любой ход)
for x in range(1, 33):
if f(x, 1) == 1:
print(x)
print("====")
for x in range(1, 33):
if f1(x, 1) == 1:
print(x) # Исключим эти значения из списка выше