Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: добавить в кучу один камень (действие А) или утроить количество камней в куче, а затем убрать из кучи один камень (действие Б). Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11 или 29 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится более 32. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 33 или больше камней. В начальный момент в куче было камней, .
Говорят, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Найдите два таких значения , при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
- Петя не может выиграть за один ход;
- Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.
Решение:
Решение. Возможные значения : 4, 10. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 11 камней (при он выполняет действие Б; при — добавляет один камень, то есть выполняет действие А). Тогда после первого хода Вани в куче будет 12 камней или 32 камня. Во всех случаях Петя увеличивает количество камней в куче в 3 раза и выигрывает вторым ходом.
Ответ: 4 10.
Решение на Python:
def f(x, h):
if h == 4 and x >= 33:
return 1
elif h == 4 and x < 33:
return 0
elif x >= 33 and h < 4:
return 0
else:
if h % 2 != 0:
return f(x + 1, h + 1) or f(x * 3 - 1, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x + 1, h + 1) and f(x * 3 - 1, h + 1) # стратегия проигравшего
for x in range(1, 33):
if f(x, 1) == 1:
print(x)