Тип 24 № 21649

Дано:
$\frac{A_{12}}{A'_{31}} = 2$
Найти: $\eta - ?$

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для идеального газа: $$pV = \nu RT$$

По первому началу термодинамики: $$Q_{ij} = \Delta U_{ij} + A_{ij},$$ где $Q_{ij}$, $\Delta U_{ij}$, $A_{ij}$ -- соответственно количество теплоты, изменение внутренней энергии и работа газа в процессе $i \rightarrow j$.

Рассчитаем количество теплоты, подведённое к газу в процессе 1-2 (изобарное нагревание). Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, получаем: $$Q_{12} = U_2 - U_1 + A_{12} = \frac{3}{2} (\nu RT_2 - \nu RT_1) + p_1 (V_2 - V_1)$$

Выразим давления и объёмы через работу $A_{12} = p_1(V_2 - V_1)$: $$Q_{12} = \frac{3}{2} p_1 (V_2 - V_1) + p_1 (V_2 - V_1) = \frac{5}{2} p_1 (V_2 - V_1) = \frac{5}{2} A_{12}$$

Процесс 2-3 является изохорным ($V = \text{const}$), поэтому работа газа $A_{23} = 0$. В этом процессе газ отдаёт тепло окружающей среде.

Процесс 3-1 является адиабатным ($Q_{31} = 0$). Работа, совершенная над газом в этом процессе, равна $A'_{31}$. Работа, совершаемая самим газом при сжатии, отрицательна: $A_{31} = - A'_{31}$.

КПД тепловой машины определяется как отношение полезной работы за цикл $A_0$ к количеству теплоты, полученному от нагревателя $Q_{\text{н}}$: $$\eta = \frac{A_0}{Q_{\text{н}}}$$

Полезная работа за цикл равна сумме работ на всех участках: $$A_0 = A_{12} + A_{23} + A_{31} = A_{12} - A'_{31}$$

Газ получает тепло только на участке 1 $\rightarrow$ 2, следовательно, $Q_{\text{н}} = Q_{12} = \frac{5}{2} A_{12}$.

Выразим КПД: $$\eta = \frac{A_{12} - A'_{31}}{\frac{5}{2} A_{12}} = \frac{2}{5} \left( 1 - \frac{A'_{31}}{A_{12}} \right)$$

По условию задачи $\frac{A_{12}}{A'_{31}} = 2$, откуда $\frac{A'_{31}}{A_{12}} = 0,5$. Подставим это значение: $$\eta = \frac{2}{5} (1 - 0,5) = 0,4 \cdot 0,5 = 0,2$$