Тип 22 № 21590

Дано:
$M = 1 \text{ кг}$
$\mu = 0,2$
$F = 10 \text{ Н}$
$a = 2 \text{ м/с}^2$
$g = 10 \text{ м/с}^2$
Найти: $m-?$

Согласно второму закону Ньютона, запишем уравнения движения для обоих тел. Для первого груза массой $M$: $$\vec{F} + \vec{T}_1 + \vec{N} + M\vec{g} + \vec{F}_{\text{тр}} = M\vec{a}_1 \quad (1)$$ Для второго груза массой $m$: $$m\vec{g} + \vec{T}_2 = m\vec{a}_2 \quad (2)$$

Поскольку нить является невесомой и нерастяжимой, силы натяжения и модули ускорений тел одинаковы: $T_1 = T_2 = T$ и $a_1 = a_2 = a$. Запишем проекции уравнения (1) на координатные оси: $$\begin{cases} x: & F - T - F_{\text{тр}} = Ma \\ y: & N = Mg \end{cases}$$

Модуль силы трения скольжения определяется выражением: $$F_{\text{тр}} = \mu N = \mu Mg$$

Подставим это значение в уравнение для оси $x$: $$F - T - \mu Mg = Ma \quad (3)$$

Затем спроецируем уравнение (2) на вертикальную ось $y$ (направленную вниз): $$T - mg = ma$$ Отсюда выразим силу натяжения нити: $$T = m(g + a)$$

Подставим полученное выражение для $T$ в уравнение (3) и решим его относительно искомой массы $m$: $$F - m(g + a) - \mu Mg = Ma$$ Сгруппируем слагаемые с $m$ в левой части, а остальные перенесем вправо: $$F - \mu Mg - Ma = m(g + a)$$ Таким образом, формула для расчета массы второго груза принимает вид: $$m = \frac{F - M(\mu g + a)}{g + a} = \frac{10 - 1 \cdot (0,2 \cdot 10 + 2)}{10 + 2} = 0,5 \text{ кг}$$