Тип 24 № 12507

1. Коэффициент полезного действия теплового двигателя определим по формуле $$\eta=\frac{A}{Q_1},$$ где $A$ — работа газа за цикл, а $Q_1$ — тепло, полученное от нагревателя за цикл.

2. Цикл состоит из двух изохор $1\!-\!2$ и $3\!-\!4$ и двух изобар $2\!-\!3$ и $4\!-\!1$ (см. рисунок). По закону Шарля $$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2},\quad так\ как\ T_2=3T_1,\ \ то\ p_2=p_3=3p_1.$$

По закону Гей-Люссака $$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_4}{T_4},\quad а\ так\ как\ T_4=T_2=3T_1,\ \ то\ V_3=V_4=3V_1.$$

1. Работа за цикл равна площади фигуры на графике: $$A=(p_2-p_1)(V_3-V_1)=4p_1V_1.$$

2. Положительное тепло газ получает на изохоре $1\!-\!2$ и изобаре $2\!-\!3$, поэтому $$Q_1=Q_{12}+Q_{23}.$$ С учётом $U=\tfrac{3}{2}\nu RT$ и первого начала получаем для изохоры $1\!-\!2$ ($V=$ const, $A=0$): $$Q_{12}=\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)=3\nu RT_1.$$ Для изобары $2\!-\!3$: $$Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}=\frac{3}{2}\nu R(T_3-T_2)+p_2(V_3-V_2).$$

3. По уравнению Менделеева–Клапейрона ($pV=\nu RT$) имеем $$\nu RT_1=p_1V_1,\quad \nu RT_2=3p_1V_1,\quad Q_{23}=\frac{5}{2}p_2(V_3-V_2)=\frac{5}{2}\,2p_1\,(3V_1-V_1)=15p_1V_1.$$ Тогда $$Q_1=Q_{12}+Q_{23}=3p_1V_1+15p_1V_1=18p_1V_1.$$

Следовательно, $$\eta=\frac{A}{Q_1}=\frac{4p_1V_1}{18p_1V_1}=\frac{2}{9}\approx 0{,}222\approx 22{,}2\%.$$

Ответ: $\eta\approx 22{,}2\%.$