Тип 15 № 12319

Рассмотрим протон, движущийся в однородном электрическом поле плоского конденсатора, в инерциальной системе, связанной с поверхностью Земли: $$m\,\vec a=\vec F,\qquad OY:\; m\,a=\!F,\qquad \vec F=q\,\vec E.$$ Отсюда продольное ускорение $$a=\frac{qE}{m}.$$

Движение равноускоренное, поэтому координаты и проекции скоростей: $$x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_x t^2}{2},\qquad y=y_0+v_{0y}t+\frac{a_y t^2}{2},$$ $$v_x=v_{0x}+a_x t,\qquad v_y=v_{0y}+a_y t,\qquad v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.$$ Условия входа: $x_0=0,\ v_{0x}=v,\ a_x=0;\ y_0=0,\ v_{0y}=0$. Тогда $$x=vt,\quad v_x=v,\quad v_y=\frac{qE}{m}\,t,\quad v=\sqrt{\,v^{2}+\left(\frac{qE}{m}t\right)^{2}}.$$

Пусть время пролёта внутри конденсатора $t_1$, длина пластин $l$, а модуль скорости на выходе $v_1$. Из условия $x(t_1)=l$: $$l=v\,t_1\ \Rightarrow\ t_1=\frac{l}{v}.$$ Компоненты и модуль скорости на выходе: $$v_{1y}=\frac{qE}{m}\,t_1,\qquad v_1=\sqrt{\,v^{2}+\left(\frac{qE}{m}\,\frac{l}{v}\right)^{2}}.$$

Кинетическая энергия протона на выходе $$W=\frac{m v_1^{2}}{2} =\frac{m}{2}\!\left(v^{2}+\left(\frac{qE}{m}\,\frac{l}{v}\right)^{2}\right).$$

1. Как меняется выходная кинетическая энергия $W$ при уменьшении напряжённости $E$. Начальные $v$, $m$, $q$ и длина $l$ постоянны. Из формулы видно, что вклад поля пропорционален $E^{2}$, поэтому при уменьшении $E$ энергия $W$ уменьшается.

2. Как меняется время пролёта $t_1$ при изменении $E$. Из формулы следует, что $t_1=l/v$ и никак не зависит от $E$; следовательно, при изменении напряжённости поля время пролёта остаётся прежним.