Движение по окружности

Автомобиль на повороте, спутник на орбите, камень на верёвке — во всех этих случаях тело движется по окружности. Скорость при этом может не меняться по модулю, но ускорение всё равно есть. Почему так и как его найти — главный вопрос темы.

Где встречается в ЕГЭ. Движение по окружности входит в линию кинематики: формулы нужны для задания №1 (расчётная задача на скорость, период, ускорение). В заданиях №5 и №6 нужно анализировать, как меняются величины при изменении радиуса или скорости, и читать графики.

Чему ты научишься

находить период, частоту, угловую и линейную скорость и связывать их друг с другом;
считать центростремительное ускорение по любой из трёх формул и выбирать нужную по данным задачи;
анализировать, как меняется ускорение при изменении $v$ , $\omega$ , $R$ , как это требуется в №5 и №6.

Равномерное движение по окружности

Движение по окружности радиуса $R$ с постоянной по модулю скоростью называют равномерным. Слово «равномерно» здесь относится только к модулю скорости. Скорость — вектор, а у вектора меняется не только модуль, но и направление.

Скорость $\vec{v}$ в каждой точке направлена по касательной к окружности, то есть перпендикулярно радиусу.
Направление скорости непрерывно меняется, значит, ускорение не равно нулю, даже если $\lvert\vec{v}\rvert = \text{const}$ .
Это ускорение направлено к центру окружности, поэтому его называют центростремительным.

Окружность радиуса R с центром O: вектор скорости направлен по касательной, вектор ускорения — к центру

Рис. 1. Равномерное движение по окружности: скорость направлена по касательной, ускорение — к центру.

Период, частота, угловая скорость

Быстроту движения по окружности описывают несколькими величинами. Все формулы этого раздела есть в кодификаторе ЕГЭ.

Величина	Определение	Единица	Формула
Период $T$	время одного оборота	с	$T = \dfrac{t}{N}$
Частота $\nu$	число оборотов в секунду	Гц = с $^{-1}$	$\nu = \dfrac{N}{t} = \dfrac{1}{T}$
Угловая скорость $\omega$	угол поворота за единицу времени	рад/с	$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$
Линейная скорость $v$	путь по дуге за единицу времени	м/с	$v = \dfrac{2\pi R}{T} = \omega R$

За один оборот тело проходит путь $2\pi R$ и поворачивается на угол $2\pi$ рад ( $360^\circ$ ). Отсюда и все формулы: $v = \dfrac{2\pi R}{T}$ и $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ , а их отношение даёт $v = \omega R$ .

Центростремительное ускорение

$a_{\text{цс}} = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}, \qquad \vec{a}_{\text{цс}} \text{ направлено к центру окружности.}$

Все три записи равноправны, они переходят друг в друга через $v = \omega R$ и $\omega = 2\pi/T$ . Выбирай ту, в которой есть данные из условия:

даны $v$ и $R$ ⇒ $a_{\text{цс}} = v^2/R$ ;
даны $\omega$ (или $\nu$ ) и $R$ ⇒ $a_{\text{цс}} = \omega^2 R$ ;
даны $T$ и $R$ ⇒ $a_{\text{цс}} = 4\pi^2 R/T^2$ .

Откуда формула. За малое время $\Delta t$ вектор скорости поворачивается на малый угол $\Delta\varphi$ , а его модуль не меняется. Изменение скорости $\Delta\vec{v}$ — основание равнобедренного треугольника со сторонами $v$ , поэтому $\lvert\Delta\vec{v}\rvert \approx v\,\Delta\varphi$ . За то же время тело проходит дугу $v\,\Delta t = R\,\Delta\varphi$ , то есть $\Delta\varphi = \dfrac{v\,\Delta t}{R}$ . Тогда

$a = \frac{\lvert\Delta\vec{v}\rvert}{\Delta t} = \frac{v\,\Delta\varphi}{\Delta t} = \frac{v^2}{R}.$

Вектор $\Delta\vec{v}$ при малом $\Delta t$ направлен к центру, значит, туда же направлено и ускорение.

Скорость в точках A и B поворачивается на угол Δφ; вектор изменения скорости направлен к центру окружности

Рис. 2. Слева: скорость в точках A и B поворачивается на угол $\Delta\varphi$ . Справа: $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ направлено к центру, туда же направлено ускорение.

Как ускорение зависит от $v$ , $\omega$ и $R$

Вопросы вида «как изменится величина, если…» и графики зависимостей встречаются в №5 и №6. Главное правило: сначала выясни, какая величина остаётся постоянной.

Три графика центростремительного ускорения: парабола a(v) при постоянном R, гипербола a(R) при постоянной v, прямая a(R) при постоянной ω

Рис. 3. Слева направо: парабола ( $a_{\text{цс}} = v^2/R$ , $R = \text{const}$ ), гипербола ( $a_{\text{цс}} = v^2/R$ , $v = \text{const}$ ), прямая ( $a_{\text{цс}} = \omega^2 R$ , $\omega = \text{const}$ ). Ускорение в м/с².

Что меняем	$v = \text{const}$	$\omega = \text{const}$	$T = \text{const}$
$R$ увеличили в 2 раза	$a_{\text{цс}}$ уменьшилось в 2 раза	$a_{\text{цс}}$ выросло в 2 раза	$a_{\text{цс}}$ выросло в 2 раза
$v$ увеличили в 2 раза ( $R$ прежний)	—	$a_{\text{цс}}$ выросло в 4 раза	—
$\omega$ или $\nu$ увеличили в 2 раза ( $R$ прежний)	—	$a_{\text{цс}}$ выросло в 4 раза	—

Разбор заданий в формате ЕГЭ

Задание типа №1. Тело движется по окружности радиусом 5 м с постоянной по модулю скоростью 10 м/с. Каково центростремительное ускорение? Ответ: ___ м/с².

Решение: $a_{\text{цс}} = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{100}{5} = 20$ . Ответ: 20.

Задание типа №1 (через угловую скорость). Колесо вращается с угловой скоростью 4 рад/с. Точка находится на расстоянии 0,5 м от оси. Найдите её центростремительное ускорение.

Решение: $a_{\text{цс}} = \omega^2 R = 16 \cdot 0{,}5 = 8$ м/с². Здесь не нужно сначала искать $v$ .

№5, выбор верных утверждений. Шарик движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Выберите все верные утверждения.

Ускорение шарика равно нулю.
Ускорение шарика направлено к центру окружности.
Скорость шарика направлена по касательной к окружности.
Скорость шарика не изменяется.
При увеличении скорости вдвое ускорение увеличится вдвое.

Разбор. Верны 2 и 3. Утверждение 1 неверно: направление скорости меняется. Утверждение 4 неверно: неизменен только модуль, а скорость — вектор. Утверждение 5 неверно: $a_{\text{цс}} \sim v^2$ , ускорение вырастет вчетверо. Ответ: 23.

№6, изменение величин. Спутник движется по круговой орбите со скоростью $v$ . Радиус орбиты увеличили, а скорость движения оставили прежней. Как изменятся период обращения и центростремительное ускорение? Для каждой величины определите характер изменения: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится.

Разбор. $T = \dfrac{2\pi R}{v}$ : при том же $v$ и большем $R$ период увеличивается. $a_{\text{цс}} = \dfrac{v^2}{R}$ : при том же $v$ и большем $R$ ускорение уменьшается. Ответ: 12 (порядок цифр важен).

Типичные ошибки

Ошибка	Как правильно
При равномерном движении по окружности ускорение равно нулю	скорость постоянна по модулю, но меняется по направлению, поэтому $a_{\text{цс}} = v^2/R \ne 0$
Ускорение направляют по скорости или по касательной	$\vec{a}_{\text{цс}}$ всегда направлено к центру, перпендикулярно $\vec{v}$
Путают $v$ и $\omega$	$v = \omega R$ ; $\omega$ измеряется в рад/с, $v$ в м/с
Не переводят обороты в минуту в обороты в секунду	$\nu = n/60$ ; $\omega = 2\pi\nu$
Говорят «ускорение растёт с радиусом» без условия	смотри, что постоянно: $v$ ( $a_{\text{цс}} \sim 1/R$ ), $\omega$ ( $a_{\text{цс}} \sim R$ ) или $T$ ( $a_{\text{цс}} \sim R$ )
Забывают, что $a \sim v^2$	при увеличении $v$ вдвое ускорение вырастает вчетверо

Шпаргалка

Что найти	Формула	Комментарий
Период, частота	$T = \dfrac{t}{N}$ , $\nu = \dfrac{1}{T}$	$[\nu] = \text{Гц} = \text{с}^{-1}$
Угловая скорость	$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$	рад/с
Линейная скорость	$v = \dfrac{2\pi R}{T} = \omega R$	по касательной
Центростремительное ускорение	$a_{\text{цс}} = \dfrac{v^2}{R} = \omega^2 R = \dfrac{4\pi^2 R}{T^2}$	к центру

Задачи для самопроверки

Тело движется по окружности радиусом 4 м со скоростью 8 м/с. Найдите угловую скорость и центростремительное ускорение.
Колесо радиусом 0,25 м делает 30 оборотов за 15 с. Найдите период, частоту, угловую скорость и линейную скорость точки обода.
Угловая скорость тела при движении по окружности равна 5 рад/с, центростремительное ускорение 50 м/с². Найдите радиус окружности и линейную скорость.
Два шкива соединены ремнём (без проскальзывания). Радиусы шкивов 0,1 м и 0,4 м, угловая скорость малого шкива 20 рад/с. Найдите угловую скорость большого шкива и отношение центростремительных ускорений точек их ободов.
Как изменится центростремительное ускорение, если скорость тела увеличить в 3 раза, а радиус окружности увеличить в 3 раза?